《分角定理》的历史意义。

《分角定理》是：三角形中的一角被一直线内分（或外分），又分对边为两线段时，则有：两分边之比等于与两对应分角正弦之正比乘以与两对应分角的两条不重合边之正比。（还可变出很多不同形式）如图.。AD内分∠BAC，则有

BD/CD=（sin∠BAD/ sin∠CAD）·（AB/AC）=（sin∠BAD/ sin∠CAD）·（sin∠ACB/ sin∠ABC）。AC外分∠BAD，则有

CD/CB=（sin∠CAD/ sin∠CAB）·（AD/AB）=（sin∠CAD/ sin∠CAB）·（sin∠ABD/ sin∠ADB）。

（一）  一个小小的、中学生也能发现的《分角定理》，为何千百年来无人发现？有人说：《分角定理》所阐明的边、角关系，用其他概念也能推出。不过，至少须两次使用不同的概念，可以说不是多此一举，而是省思省时。

A

B

C

D

（二） 《分角定理》是平几中最后一个次基础定理。《正弦定理》虽是基础定理，但不能反映三角形中有分角线时复杂的边、角关系。历史上虽有《角平分线定理》，但无人去想，不平分时有无定理存在。可能认为任意分角线所形成的四边四角不会联系出固定关系，即使有，也很难用。

（三） 《分角定理》的特点：

⑴  由于分角线处于三个特殊状态，因而推出三个引理。(引理有如此者很少)

①两分角相等时，即《角平分线定理》，两分边与两邻边成正比。

②两条角边相等时，两分角正弦与两分边成正比。（等腰三角形顶角的分角线）

③两条分边相等时，两分角正弦与两邻边成反比。（分角线为三角形的中线）

 后两个引理与头一个《角平分线定理》一样，会流传千古，造福社会。

⑵  六个因素全以比例与积的关系存在（无加减号），其中两条角边还可代换为两个对应角的正弦。因此《分角定理》可以变出很多所需的形式。内分时，有：

①BD/CD=（sin∠BAD/ sin∠CAD）·（AB/AC）， ②BD/CD=（sin∠BAD/ sin∠CAD）·（sin∠ACB/ sin∠ABC）。

③sin∠BAD/ sin∠CAD=（BD/CD）·（AC/AB），④sin∠BAD/ sin∠CAD=（BD/CD）·（sin∠ABC/ sin∠ACB）。⑴至⑷最常用。⑤BD/ sin∠BAD =（CD/ sin∠CAD）·（AB/AC），⑥BD/ sin∠ACB =（sin∠BAD / sin∠CAD）·（CD/ sin∠ABC）。

根据⑴⑵形式，还可写出其余关系式。

如此多的形式，会使人不易记牢。其实，写出这些公式，有规律可循。首先确定内分或外分，看准角的顶点。如⑴，右边的第一、第二个比，就是照左边比写出，在相应位置，添上角的顶点A、sin∠及以A代D就成。

如⑶，右边的两个比，也是从左边比的相应位置取得，特别注意，第二个比中的分子、分母要颠倒。所以，《分角定理》是很方便记忆和应用的。

特别是：对于三角形中的一角，既有内分角线，且有外分角线，《分角定理》依然适用。外分角的公式的写法及变化，都与内分角的一样。

（四）《分角定理》的功能。 

（1） 能快捷地解决三角形中较复杂的边角关系问题，可称为数学证明中的快捷键。在等腰三角形中和三角形有中线时，可用②③引理，写出边角关系，找出新的解题方向。

如1992年全国初中联赛题。已知：△ABC，AB=AC⑴，D在BC上，E在AD上，且∠BED=∠A=2∠CED⑵。求证：BD=2CD⑶。解此题有很多方法，都必须添线，至今无人用三角函数解出。如用②引理，即可将⑶变为求证：

sin∠BAD=2 sin∠CAD。继续用《分角定理》，就能用三角函数解出此题，有很多方法（都不要添线）。这是由于不用《分角定理》，致使解题良机，失之交臂。

又如2004年高考试题，全国卷Ⅱ中的第17题（理），我用初中知识和两次使用《分角定理》，可以简明解出。

该题是，已知：锐角三角形ABC中，sin(A+B)=3/5①,   sin(A－B)=1/5②.。求证：⑴tanA=2tanB. ， ⑵ 设AB=3，求AB边上的高。

如2006年湖南高考题：已知：已知：△ABC，∠BAC=90，D在BC上，AB=AD，记∠CAD=α，∠ABC=β。

求证：（Ⅰ）sinα+cos2β=0。（Ⅱ）若AC=(√3)CD㈢，求β的值。我用《分角定理》和初中知识解出。

最近几年，高考数学试题中的三角函数部分，就不再有三角形的内容了。

对于一些难题，不知如何添线，但常有分角线，试用《分角定理》，可能会有意外效果。有个别题，只有用《分角定理》才能解出。由此可见《分角定理》的重要功能。

  （2）我用《分角定理》证明了很多几何定理。如《塞瓦定理》、《梅涅劳斯定理》、《托勒密定理》、、《思古登定理》、《费马小定理》、《（圆内）蝴蝶定理》、《圆外蝴蝶定理》、《张角定理》、《三弦定理》、《三割线定理》等。在中学数

学史上，用某个定理去证明其他很多定理的事，恐怕没有。

（五）        发现《分角定理》的历史意义。

（1）这是近千百年来，中国人首次发现有如此巨大功能的中学数学定理，而且是平几中最后一个次基础定理。以往大家都认为中学数学定理已被外国人发现尽了，如今我的这个创新发现，可以改写这个历史事实。

（2）我在2003年11月发现了《分角定理》，就为中学数学史添上两点小小新事：一题千解，千古唯一，我对1999年全国高中联赛加试几何题，用《分角定理》作出千个以上异想天开的解法，都是不添线和只列一式。

另一点新事，在2006年8月，我用《分角定理》发现了《全面三割线定理》，《全面三割线定理》是由已发现的《张角定理》与《三弦定理》一丝不改地组成。这是地球人类的唯一特异思维奇迹，三个定理如此惊人巧合，不由数学知识变化规律发生，在地球上发生的概率几乎为零，外星人也会忽漏，这是地球人类的骄傲。

有诗为证：三题巧合自天成，无规难识永沉沦，为何好像天上落，中华大地福缘萌。

（3）应用《分角定理》。常采取连比延伸的形式，这种特殊变形形式，无人常用，是否新创。实践是检验真理的唯一标准，不添线，只列一式的一题千解，就是由于采取这种特殊变形形式。

（4）我现已写出《<分角定理>及其应用》书稿。只用一个数学定理著书，在中学数学史上是首次。

（六）        我在科学发展观的思想指导下，于2008年10月，发现了数学中又一奇观趣事---平几题，姐妹花。

谁都确认：两个不同的几何图形，绝不会共有相同的结论。如长方形面积为长乘宽，正方形面积为边的平方。

而我发现两个顶角各为20°、100的等腰△ABC，各从底角B作角平分线交对腰于D 点，则共有两个相同的结论：

（一）BD = │AD－BC│。（二）BC³ + AB³ = 3 BC×AB²。

有诗为证：忽如一夜春风来，神州大地百花开。姐妹花绽春风力，奇光异彩映全球。

两个数学定理、两个数学奇迹，水平很低，毫无意义，我只懂初中几何知识。但一切事物都有因果关系。人类历史上绝不可能的事在今天发生，根本原因是：由于改革开放后的三十年，“忽然一夜春风来，千树万树梨花开”，神州大地，百花竞艳，两个数学定理、两个数学奇迹，也乘春风雨露茁起。但还须待神州大地更好地培植。

2006年12月，我写出两篇论文：“我用《分角定理》创造出中学数学定理历史奇迹”及“《分角定理》与《全面三割线定理》”，在国际交流评选活动中，被中国教育家协会、中华教育研究交流中心评为中华优秀教育论文壹等奖。

2007年8月